Analyse et techniques de résolution

Table des matières
1 Définitions préliminaires 3
1.1 ´Equations de Fredholm et de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Relation avec les équations diffèrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Problèmes avec conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Problèmes aux limites de second type . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Méthodes élémentaires 8
2.1 ´Equations à noyau séparable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Noyaux itérés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Approximations successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Quelques théorèmes du point fixe 17
3.1 Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Opérateurs linéaires bornés 28
4.1 Opérateurs intégraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Théorie de Riesz-Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Approximation numérique 42
5.1 Méthode de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.1 Méthode du trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 Méthode du noyau séparable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Méthode spectrale de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3.1 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.2 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.3 Discrétisation de l'´equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1
6 Exercices 47
7 ´Equations intégrales singulières 56
7.1 ´Equation intégrale d'Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2 ´Equations intégrales à noyau de Cauchy . . . . . . 58
7.3 Singularit´e logarithmique . . . . . . .  . 59